数学题在线解答

问题:若lim ((x^2+ax+b)/sin (x^2-1) )=3, 则a, b的值为?

若lim ((x^2+ax+b)/sin (x^2-1) )=3, 则a, b的值为?

解答

\lim_{x \rightarrow 1} {\frac{x^2+ax+b}{\sin (x^2-1)}}=3, 则a, b的值为?

f(x)=x^2+ax+b, g(x)=\sin {(x^2-1)}, 则有

g(1) = \sin 0 = 0, 而极限\lim_{x \rightarrow 1} {\frac{x^2+ax+b}{\sin (x^2-1)}}存在, 因而f(1) = 1+ a +b = 0.

g'(1)=2 \cdot 1 \cdot \cos{(1^2-1)} = 2 \ne 0, 且f, g都在1的邻域内连续可导, 因而可用洛必达法则求极限,即

\lim_{x \rightarrow 1} {\frac{x^2+ax+b}{\sin (x^2-1)}} = \lim_{x \rightarrow 1} {\frac{2x+a}{2x \cos (x^2-1)}}=\frac{2+a}{2}=3

得a=4, 从而b=-5

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