数学题在线解答

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-\frac{1}{2}n^2+kn(k\in N^*),且S_n最大值为8
(1)确定常数k,并求a_n
(2)设数列\frac{9-2a_n}{2^n}的前n项和为T_n,求证T_n<4

结论/结果
k=4,a_n=9/2-n
解答

(1)二次函数f(x)=-\frac{1}{2}x^2+kxx=k时有最大值, k又是正整数,故数列S_nn=k时取得最大值,从而
-\frac{1}{2}k^2+k^2=8,得k=4(-4舍去)
a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{9}{2}-n

(2)设b_n=\frac{9-2a_n}{2^n}=\frac{2n}{2^n},则有b_n=\frac{2(n-1)+2}{2^{n-1}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}b_{n-1} + \frac{2}{2^n}

则有

\begin{aligned}
&T_n\\
=& b_1+b_2+…b_n\\
=& b_1 + \frac{1}{2}(b_1+\frac{4}{2^2})+\frac{1}{2}(b_2+\frac{4}{2^3}) + … + \frac{1}{2}(b_{n-1} + \frac{4}{2^n})\\
=& b_1+\frac{1}{2}(b_1+b_2+…+b_{n-1}) +\\
& (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + … + \frac{1}{2^{n-1}} )\\
<& b_1 + \frac{T_n}{2} + 1\\
=& \frac{T_n}{2} + 2
\end{aligned}

T_n<4

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