数学题在线解答

问题:求积分I=∫dy∫sinx/xdx

结论/结果
1-sin1
解答

积分区域如图


从而有

\begin{aligned}
& \int_0^1\mathrm{d}y\int_y^{\sqrt{y}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\\
=& \int_0^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^x\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}y\\
=& \int_0^1 \frac{\sin x}{x} \cdot(x-x^2) \mathrm{d}x\\
=& \int_0^1 (\sin x-x\sin x) \mathrm{d}x\\
=& (-\cos x+x\cos x-\sin x)|_0^1\\
=& 1-\sin 1
\end{aligned}

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