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问题:下列级数发散的是?Σ1/ln n^ln n, Σ(n+1)!/100^n,n^100/2^n, (-1^n)ln(n+1)/√n+1

结论/结果
B
解答
  • 选项A收敛. 根据级数的比较判别法, 只需要说明n充分大时有\frac{1}{(\ln{n})^{\ln n}}<\frac{1}{n^2}. 而\frac{1}{(\ln{n})^{\ln n}}<\frac{1}{n^2} \Leftrightarrow n^2<\ln n^{\ln n} \Leftrightarrow 2\ln n<\ln n \ln\ln n\Leftrightarrow 2< \ln\ln n, 而2< \ln\ln n在n充分大时显然成立

  • 选项B发散. n>100时, 我们有\frac{(n+1)!}{100^n}=\frac{100!}{100^{100}} \cdot \frac{A_n^{n-100}}{100^{n-100}} \cdot (n+1) > \frac{100!}{100^{100}} \cdot (n+1), 因而级数项的极限不是0, 从而级数发散

  • 选项C收敛. 利用级数的根式判别法,\lim_{n\rightarrow\infin}\sqrt[n]{\frac{n^{100}}{2^n}} = \lim_{n\rightarrow\infin}\frac{\sqrt[n]{n^{100}}}{2}=\frac{1}{2}<1, 从而级数收敛

  • 选项D收敛. 根据交错级数的莱布尼兹判别法, 只需要说明每一项的绝对值的极限是0, 用洛必达法则易求之\lim_{x\rightarrow\infin}\frac{\ln {(x+1)}}{\sqrt{x+1}} = \lim_{x\rightarrow\infin}\frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}=\lim_{x\rightarrow\infin}\frac{2}{\sqrt{x+1}}=0

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